Standar Deviasi dan Varians Salah satu teknik statistik yg digunakan untuk menjelaskan homogenitas kelompok. Varians merupakan jumlah kuadrat semua deviasi nilai-nilai individual thd rata-rata kelompok. Sedangkan akar dari varians disebut dengan standar deviasi atau simpangan baku.
Standar Deviasi dan Varians Simpangan baku merupakan variasi sebaran data. Semakin kecil nilai sebarannya berarti variasi nilai data makin sama Jika sebarannya bernilai 0, maka nilai semua datanya adalah sama. Semakin besar nilai sebarannya berarti data semakin bervariasi.
5,3,4,5,6,4,5,3,4,5
dari rumus tersebut diatas lambang x bar merupakan rata-rata hasil pengukuran.
Sehingga dari rata rata pengukuran dapat kita hitung yaitu :
rata-rata = (5+3+4+5+6+4+5+3+4+5)/10 = 4.4
Kemudian data yang didapatkan dari pengurangan hasil pengukuran terhadap rata rata tersebut adalah berturut-turut :
0.6,-1.4,-0.4,0.6,1.6,-0.4,0.6,-1.4,-0.4,0.6
Dan kuadrat dari data tersebut diatas adalah :
0.36,1.96,0.16,0.36,2.56,0.16,0.36,1.96,0.16,0.36
Jika dijumlahkan mendapatkan nilai sebesar = 8.4, hasil ini dibagi dengan 9 dimana angkan 9 ini didapatkan dari “hasil pengamatan – 1″ (10 – 1 = 9)
Sehingga standar deviasi (s) = 0.966092
Range
Range adalah nilai yang diperoleh dari nilai data terbesar dikurangi nilai data terkecil.
Range dari data tunggal dirumuskan dengan Range = Xmaks – Xmin dengan Xmaks= nilai data terbesar sedangkan Xmin = nilai data terkecil. Untuk menentukan range dari data tunggal lebih mudah dan sederhana.
Sebelum sampai pada beberapa pendapat tentang rumus menentukan range dari data yang dikelompokkan perlu kita tahu beberapa istilah terkait dengan menentukan range. Perhatikan data berikut yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi kelompok.
Berikut ini adalah nilai ulangan matematika 30 siswa kelas XI yang disajikan dalam tabel
TABEL HASIL NILAI ULANGAN MATEMATIKA 30 SISWA KELAS XI
Nilai Ulangan Matematika | Banyak siswa (Frekuensi) |
41 – 50 | 3 |
51 – 60 | 7 |
61 – 70 | 10 |
71 – 80 | 5 |
81 – 90 | 4 |
91 – 100 | 1 |
Nilai Ulangan Matematika | Banyak siswa (Frekuensi) | Nilai Tengah | Tepi bawah kelas | Tepi atas kelas | Batas bawah | Batas atas |
41 – 50 | 3 | 45,5 | 40,5 | 50,5 | 41 | 50 |
51 – 60 | 7 | 55,5 | 50,5 | 60,5 | 51 | 60 |
61 – 70 | 10 | 65,5 | 60,5 | 70,5 | 61 | 70 |
71 – 80 | 5 | 75,5 | 70,5 | 80,5 | 71 | 80 |
81 – 90 | 4 | 85,5 | 80,5 | 90,5 | 81 | 90 |
91 – 100 | 1 | 95,5 | 90,5 | 100,5 | 91 | 100 |
Rumus yang digunakan untuk menentukan range dari data yang disajikan dalam distribusi frekuensi kelompok.
- Menurut pendapat yang pertama (Anto dayan, 1986. Pengantar Metode Statistik Jilid I, 169-172 dan Nugroho Soedyarto dan Maryanto.2008. Matematika Jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI Program IPA, 40). Menentukan range dirumuskan dengan
= 95,5 – 45,5 = 50.
- Menurut pendapat kedua (Husein Tampomas, 2007. Seribu Pena Matematika. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI, 27). Menentukan range dirumuskan dengan
= Tepi atas kelas terakhir – Tepi bawah kelas pertama
= 100,5 – 40,5 = 60
- Menurut pendapat ke tiga (Nugroho Budiyuwono, 1990. Pelajaran
Statistik untuk SMEA dan sederajat Edisi I, 131 – 136). Menentukan range
dirumuskan dengan
- Range = batas kelas tertinggi – batas kelas terendah
Range = batas atas kelas tertinggi – batas atas kelas terendah
= 100 – 50 = 50
Range = batas bawah kelas tertinggi – batas bawah kelas terendah
= 91 – 41 = 50
- Range = Nilai tengah kelas tertinggi – nilai tengah kelas terendah
Dari pendapat di atas, terlihat bahwa
jika menggunakan pendapat yang pertama dan ketiga diperoleh hasil yang
sama, tetapi jika digunakan pendapat yang kedua diperoleh hasil yang
berbeda. Dalam menentukan rumus menentukan range dari data yang
disajikan dalam tabel distribusi frekuensi kelompok maka perlu bapak/ibu
guru menyikapi rumus yang akan diberikan kepada siswa, agar tidak
membingungkan siswa. Biasanya masalah timbul ketika pada suatu ujian
nasional yang soalnya dalam bentuk pilihan ganda. Jadi terdapat dua atau
tiga macam jawaban yang dihasilkan dari rumus-rumus tersebut. Sehingga
siswa harus menentukan jawaban mana yang harus dipilih. Selanjutnya,
harus diamati pola jawaban pilihan pada ujian nasional untuk
kecenderungan jawaban jika soal tentang menentukan range dari data yang
disajikan dalam distribusi frekuensi kelompok ini diujikan, apakah
menggunakan rumus pendapat pertama/ketiga atau pendapat kedua. Keputusan
tetap di tangan Anda. Oleh karena itu saran untuk Anda, boleh saja Anda
mengajarkan semua rumus di atas tetapi Anda lebih menekankan kepada
siswa untuk memilih rumus tertentu pada saat ujian nasional dengan
beberapa alasan yang sudah diberikan di atas.
Varians
Varians adalah salah satu ukuran dispersi atau
ukuran variasi. Varians dapat menggambarkan bagaimana berpencarnya
suatu data kuantitatif. Varians diberi simbol σ2 (baca: sigma kuadrat) untuk populasi dan untuk s2 sampel.
Selanjutnya kita akan menggunakan simbol s2 untuk varians karena umumnya kita hampir selalu berkutat dengan sampel dan jarang sekali berkecimpung dengan populasi.
Rumus untuk menghitung varians ada dua , yaitu rumus
teoritis dan rumus kerja. Namun demikian, untuk mempersingkat tulisan
ini, maka kita gunakan rumus kerja saja. Rumus kerja ini mempunyai
kelebihan dibandingkan rumus teoritis, yaitu hasilnya lebih akurat dan
lebih mudah mengerjakannya.
Rumus kerja untuk varians adalah sebagai berikut
Contoh
Data jumlah anakan padi varietas Pandan Wangi pada metode SRI adalah sebagai berikut
28 32 15 21 30 30 27 22 36 40
Sampel
|
y
|
y2
|
1
|
28
|
784
|
2
|
32
|
1024
|
3
|
15
|
225
|
4
|
21
|
441
|
5
|
30
|
900
|
6
|
30
|
900
|
7
|
27
|
729
|
8
|
22
|
484
|
9
|
36
|
1296
|
10
|
40
|
1600
|
Jumlah
|
281
|
8383
|
Maka nilai varians data di atas adalah
Simpangan rata-rata
Simpangan rata-rata merupakan penyimpangan nilai-nilai individu dari
nilai rata-ratanya. Rata-rata bisa berupa mean atau median. Untuk data
mentah simpangan rata-rata dari median cukup kecil sehingga simpangan
ini dianggap paling sesuai untuk data mentah. Namun pada umumnya,
simpangan rata-rata yang dihitung dari mean yang sering digunakan untuk
nilai simpangan rata-rata. Simpangan rata-rata dihitung dengan formula
berikut:
Formula tersebut tentu memenuhi dua kriteria sebelumnya, dihitung
dari semua data dan menunjukkan dispersi rata-rata dari mean, tetapi
tidak memenuhi kriteria ketiga. Bagaimanapun dispersi dari data, semua
perhitungan dengan rumus ini akan selalu menghasilkan nilai nol. Hal
ini karena pembilang dari rumus di atas menunjukkan bahwa hasil penjumlahannya akan selalu sama dengan nol.
Simpangan rata-rata data tunggal
Simpangan rata-rata data kelompok
Dalam statistika dan probabilitas simpangan baku atau deviasi standar adalah ukuran sebaran statistik yang paling lazim. Singkatnya, ia mengukur bagaimana nilai-nilai data tersebar. Bisa juga didefinisikan sebagai, rata-rata jarak penyimpangan titik-titik data diukur dari nilai rata-rata data tersebut.
Simpangan baku didefinisikan sebagai akar kuadrat varians. Simpangan baku merupakan bilangan tak-negatif, dan memiliki satuan yang sama dengan data. Misalnya jika suatu data diukur dalam satuan meter, maka simpangan baku juga diukur dalam meter pula.