Statistika: Bab 2 Statistika Deskriptif II

Ch. 4 Pengukuran Gejala Pusat

Ukuran gejala pusat merupakan suatu usaha yang ditujukan untuk mengukur besarnya nilai rata-rata dari distribusi data yang telah diperoleh dalam suatu penelitian. Untuk mengukur besarnya nilai rata-rata, maka yang perlu dilakukan adalah membedakan secara jelas pengelompokkan data, yaitu antara data tidak berkelompok dengan data berkelompok. Disamping itu pengelompokkan data tersebut, juga perlu mempertimbangkan metode yang digunakan dalam suatu penelitian, apakah berdasarkan data populasi atau data sampel.

Ukuran yang dihitung dari kumpulan data dalam sampel dinamakan statistik. Sedangkan ukuran yang dihitung dari kumpulan data populasi atau dipakai untuk menyatakan populasi dinamakan parameter. Jadi ukuran yang sama dapat bernama statistik atau parameter bergantung pada apakah ukuran dimaksud untuk sampel atau populasi.

Means/Rata-Rata Hitung Data Berkelompok

Untuk mencari rata-rata hitung data berkelompok hampir sama dengan rata-rata hitung data tidak berkelompok. Perbedaannya adalah jika dalam rata-rata hitung data tidak berkelompok merupakan nilai penjumlahan X dibagi dengan N, dimana nilai X adalah nilai absolut, sedangkan untuk rata-rata hitung data berkelompok nilai X adalah nilai tengah masing-masing kelas. Dengan demikian rata-rata hitung data berkelompok merupakan penjumlahan nilai tenganh dengan frekuensi masing-masing kelas dibagi dengan jumlah frekuensi atau dengan rumus: Rata-rata = (Σ Fr.Xi)/(ΣFr). Keterangan : Fr adalah frekuensi ; Xi adalah nilai tengah.

Contoh :

Tabel : Persediaan Beras (dalam kg) dari 50 Pedagang di kota “X’ tanggal 31 Desember

Persediaan Beras	Jumlah Pedagang (Fr)	Nilai Tengah (X _i)	( Fr x X _i)
90 – 99	2	94,5	189,0
100 – 109	20	104,5	2.090,0
110 – 119	13	114,5	1.488,5
120 – 129	7	124,5	871,5
130 – 139	6	134,5	807,0
140 – 149	2	144,5	189,0
Jumlah	50

5.735,0

Rata-rata hitung data pada tabel di atas adalah : (Σ Fr.Xi)/(ΣFr) = 5.735 / 50 = 114,7 kg. Jadi rata-rata hitung persedian beras dari 50 pedagang di kota “X” per 31 Desember adalah sebesar 114,7 kg.

Dalam mencari rata-rata hitung data berkelompok, disamping dengan menggunakan rumus seperti tersebut di atas, dapat juga dengan menggunakan rumus “Skala d”, yaitu: [(CI Σ di.Fri)/(ΣFr)]+Xi0. Keterangan : CI = class interval ; Xi 0 : class mark pada d = 0

Tabel : Persediaan Beras (dalam kg) dari 50 Pedagang di kota “X’ tanggal 31 Desember

Persediaan Beras	(Fr)	Nilai Tengah (X _i)	Skala d	(d _i x Fr _i)
90 – 99	2	94,5	- 2	- 4
100 – 109	20	104,5	- 1	- 20
110 – 119	13	114,5	0	0
120 – 129	7	124,5	1	7
130 – 139	6	134,5	2	12
140 – 149	2	144,5	3	6
Jumlah	50

Rata-rata dengan ”Skala d” diperoleh : [(CI Σ di.Fri)/(ΣFr)]+Xi0 = [(10(1)) / 50)] + 114,5 = 114,7 kg

Median

Pengertian : Median merupakan nilai yang berada di tengah atau rata-rata dari dua nilai yang berada di tengah (jika data jumlah genap), setelah data tersebut diurutkan mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar. Atau, median adalah nilai tengah suatu kelompok data dimana data itu terbagi dua.

Untuk mencari nilai median pada data berkelompok dengan langkah sebagai berikut :

· Menentukan letak mendian dengan rumus n / 2

· Mencari nilai frekuensi komulatif kurang dari masing-masing kelas

· Nilai median dicari dengan rumus :

Md = CB b + CI (j / Fr m)

CB b = Class boundari bawah dari kelas yang mengandung median

CI = Class Interval

j = Selisih antara letak median dengan frekuensi komulatif pada kelas sebelum kelas yang mengandung median

Fr m = Frekuensi pada kelas yang mengandung median

Contoh :

Tabel : Persediaan Beras (dalam kg) dari 50 Pedagang di kota “X’ tanggal 31 Desember

Persediaan Beras	Jumlah Pedagang (Fr)	Fr Komulatif
90 – 99	2	2
100 – 109	20	22
110 – 119	13	35
120 – 129	7	42
130 – 139	6	48
140 – 149	2	50
Jumlah	50

Letak median adalah n / 2 = 50 / 2 = 25, yaitu terkandung pada kelas III (terkandung dalam frekuensi komulatif : 35).

Class boundary bawah kelas III = 109,5 ; Class Interval = 10 ; Nilai j = 25 – 22 = 3 ; Nilai Fr m = 13

Nilai median : Md = CB b + CI (j / Fr m) = 109,5 + 10 (3 / 13) = 111,81 kg.

Jadi persediaan beras dari 50 pedagang di kota “X” nilai tengah atau mediannya sebesar 111,81 kg.

Modus

Pengertian : Modus (mode) dari sejumlah pengamatan adalah nilai X yang paling banyak tampil. Oleh karena itu, dalam sekelompok data mungkin saja tidak memiliki modus. Modus merupakan suatu pengamatan dalam distribusi frekuensi yang memiliki jumlah pengamatan dimana jumlah frekuensinya paling besar atau paling banyak. Untuk mencari nilai modus pada data berkelompok dengan menggunakan langkah sebagai berikut :

Menentukan letak modus, yaitu dilihat pada frekuensi terbesar atau jika frekuensi terbesar lebih dari satu dapat dipilih salah satu. Jika mengamati gambar polygon atau kurva letak modus adalah pada puncak gambar polygon atau kurva. Menentukan nilai modus dengan rumus : Mo = CB b + CI [( D1 ) / ( D1 + D2 )]

Keterangan : D1 : Selisih frekuensi yang terdapat letak modus dengan frekuensi sebelum letak modus. D2 : Selisih frekuensi yang terdapat letak modus dengan frekuensi setelah letak modus.

Contoh : Tabel : Persediaan Beras (dalam kg) dari 50 Pedagang di kota “X’ tanggal 31 Desember

Persediaan Beras	Jumlah Pedagang (Fr)
90 – 99	2
100 – 109	20
110 – 119	13
120 – 129	7
130 – 139	6
140 – 149	2
Jumlah	50

Letak modus berada di kelas II, yaitu frekuensi terbesar bernilai 20. Nilai Modus adalah : Mo = 99,5 + 10 [(20 – 2) / ((20 – 2) + (20 – 13))] = 106,7. Jadi kebanyakan persediaan beras dari 50 pedagang (modusnya) adalah sebanyak 106,7 kg.

Ch. 5 Kuartil, Nilai Rata Ukur, Nilai Rata Harmonik

KUARTIL

Jika sekumpulan data dibagi menjadi empat bagian yang sama banyak, sesudah disusun menurut urutan nilainya, maka bilangan pembaginya disebut dengan kuartil. Simbol kuartil adalah K. Dengan demikian, ada tiga buah kuartil, yaitu K1, K2, dan K3. Pemberian nama dimulai dari nilai kuartil yang paling kecil. Untuk menentukan nilai kuartil, caranya adalah sebagai berikut.

1. Susun data menurut urutan nilainya, dari terkecil ke terbesar

2. Tentukan letak kuartil

3. Tentukan nilai kuartil

Letak kuartil ke-i, diberi lambang Ki, ditentukan dengan rumus sbb.

Contoh

Sampel data

27 30 28 29 22 25 24 23 24 25 27 31 21 26

Setelah disusun,

21 22 23 24 24 25 25 26 27 27 28 29 30 31

yaitu antara data ke-3 dengan data ke-4 dan 0,75 unit jauhnya dari data ke-3

Dengan demikian,

nilai K1 = data ke-3 + 0,75(data ke-4 - data ke-3)

K1 = 23 + 0,75(24-23) = 23,75

yaitu antara data ke-7 dengan data ke-8 dan 0,5 unit jauhnya dari data ke-7

Dengan demikian,

nilai K2 = data ke-7 + 0,5(data ke-8 - data ke-7)

K2 = 25 + 0,5(26-25) = 25,5

yaitu antara data ke-11 dengan data ke-12 dan 0,25 unit jauhnya dari data ke-11

Dengan demikian,

nilai K3 = data ke-11 + 0,25(data ke-12 - data ke-11)

K3 = 28 + 0,25(29-28) = 28,25

Rata-rata Ukur (Geometric Mean)

a. Pengertian Nilai Rata-rata Ukur

Nilai rata-rata ukur dari sekelompok bilangan ialah hasil perkalian bilangan tersebut, diakar pangkatkan sebanyaknya bilangan itu sendiri.
Rata rata ukur dipakai untuk menggambarkan keseluruhan data khususnya bila data tersebut mempunyai ciri tertentu yaitu banyaknya nilai data yang satu sama lain saling berkelipatan sehingga perbandingan tiap dua data yang berurutan tetap atau hampir tetap. Bila suatu kelompok data mempunyai ciri seperti ini maka rata rata ukur akan lebih baik dari pada rata rata hitung.

b. Cara menghitung nilai rata-rata ukur

Untuk Data Tidak Berkelompok

G = √ ( X₁, X₂, X₃….X_n ) Untuk Data yang Kecil

( ∑ log X )

G = antilog ( ------------------- ) Untuk Data yang Besar

∑ n

· Untuk Data Berkelompok

( ∑ f . log X )

G = antilog ( ------------------- )

∑ f

Contoh: Tentukan rata rata ukur (GEOMETRIC MEAN) data 2, 4, 8

Jawab :

n = 3

Log 2 = 0,3010

Log 4 = 0,6021

Log 8 = 0,9031

Maka Log 2 + Log 4 + Log 8 = 0,3010 + 0,6021 + 0,9031 = 1,8062

( ∑ log X )

G = antilog ( ------------------- )

∑ n

( Log 2 + Log 4 + Log 8 )

G = antilog ( ------------------------------------- )

( 1,8062 )

G = antilog ( ------------------ ) = antilog 0,6021 = 4

Rata-rata Harmonik

Rata-rata harmonik dari suatu kumpulan data x₁, x₂, …, x_n adalah kebalikan dari nilai rata-rata hitung (aritmetik mean). Secara matematis dapat dinyatakan dengan formula berikut:

$H=\dfrac{n}{\sum{\left(\dfrac{1}{x_i}\right)}}$

Secara umum, rata-rata harmonic jarang digunakan. Rata-rata ini hanya digunakan untuk data yang bersifat khusus. Misalnya,rata-rata harmonik sering digunakan sebagai ukuran tendensi sentral untuk kumpulan data yang menunjukkan adanya laju perubahan, seperti kecepatan.

a. Rata-rata harmonic untuk data tunggal

Contoh 1:Si A bepergian pulang pergi. Waktu pergi ia mengendarai kendaraan dengan kecepatan 10 km/jam, sedangkan waktu kembalinya 20 km/jam. Berapakah rata-rata kecepatan pulang pergi?

Jawab:Apabila kita menghitungnya dengan menggunakan rumus jarak dan kecepatan, tentu hasilnya 13.5 km/jam!
Apabila kita gunakan perhitungan rata-rata hitung, hasilnya tidak tepat!
$\overline{x}=\dfrac{(10+20)}{2}=15\ {\rm km/jam}$
Pada kasus ini, lebih tepat menggunakan rata-rata harmonik:
$\overline{x}=\dfrac{2}{\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{20}}=\dfrac{40}{3}=13.5\ {\rm km/jam}$

b. Rata-rata Harmonik untuk Distribusi Frekuensi:

$H=\dfrac{\sum f_i}{\sum{\left(\dfrac{f_i}{x_i}\right)}}$

Contoh 2:
Berapa rata-rata Harmonik dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 pada Tendensi Sentral: Mean!

Jawab:

Kelas ke-	Nilai Ujian	fi	xi	fi/xi
1	31 – 40	2	35.5	0.0563
2	41 – 50	3	45.5	0.0659
3	51 – 60	5	55.5	0.0901
4	61 – 70	13	65.5	0.1985
5	71 – 80	24	75.5	0.3179
6	81 – 90	21	85.5	0.2456
7	91 – 100	12	95.5	0.1257
8	Jumlah	80		1.1000

$H=\dfrac{\sum f_i}{\sum{\left(\dfrac{f_i}{x_i}\right)}}=\dfrac{80}{1.10000}=72.7283$

Ch. 6 Pengukuran Penyimpanan (Range - Deviasi - Varian)

Varian

Varians adalah salah satu ukuran dispersi atau ukuran variasi. Varians dapat menggambarkan bagaimana berpencarnya suatu data kuantitatif. Varians diberi simbol σ² (baca: sigma kuadrat) untuk populasi dan untuk s²sampel.

Selanjutnya kita akan menggunakan simbol s² untuk varians karena umumnya kita hampir selalu berkutat dengan sampel dan jarang sekali berkecimpung dengan populasi.

Rumus untuk menghitung varians ada dua , yaitu rumus teoritis dan rumus kerja. Namun demikian, untuk mempersingkat tulisan ini, maka kita gunakan rumus kerja saja. Rumus kerja ini mempunyai kelebihan dibandingkan rumus teoritis, yaitu hasilnya lebih akurat dan lebih mudah mengerjakannya.

Rumus kerja untuk varians adalah sebagai berikut

Contoh
Data jumlah anakan padi varietas Pandan Wangi pada metode SRI adalah sebagai berikut
28 32 15 21 30 30 27 22 36 40

Sampel	y	y²
1	28	784
2	32	1024
3	15	225
4	21	441
5	30	900
6	30	900
7	27	729
8	22	484
9	36	1296
10	40	1600
Jumlah	281	8383

Maka nilai varians data di atas adalah

Deviasi

Standar deviasi disebut juga simpangan baku. Seperti halnya varians, standar deviasi juga merupakan suatu ukuran dispersi atau variasi. Standar deviasi merupakan ukuran dispersi yang paling banyak dipakai. Hal ini mungkin karena standar deviasi mempunyai satuan ukuran yang sama dengan satuan ukuran data asalnya. Misalnya, bila satuan data asalnya adalah cm, maka satuan standar deviasinya juga cm. Sebaliknya, varians memiliki satuan kuadrat dari data asalnya (misalnya cm²). Simbol standar deviasi untuk populasi adalah σ (baca: sigma) dan untuk sampel adalah s.

Rumus untuk menghitung standar deviasi adalah sebagai berikut

Contoh:

Data umur berbunga (hari) tanaman padi varietas Pandan Wangi adalah sbb: 84 86 89 92 82 86 89 92 80 86 87 90

Berapakah standar deviasi dari data di atas?

Sampel	y	y²
1	84	7056
2	86	7396
3	89	7921
4	92	8464
5	82	6724
6	86	7396
7	89	7921
8	92	8464
9	80	6400
10	86	7396
11	87	7569
12	90	8100
Jumlah	1043	90807

Maka nilai standar deviasi data di atas adalah

STANDAR DEVIASI

Rumus untuk menghitung standar deviasi adalah sebagai berikut

Contoh:

Data umur berbunga (hari) tanaman padi varietas Pandan Wangi adalah sbb: 84 86 89 92 82 86 89 92 80 86 87 90

Berapakah standar deviasi dari data di atas?

Sampel	y	y²
1	84	7056
2	86	7396
3	89	7921
4	92	8464
5	82	6724
6	86	7396
7	89	7921
8	92	8464
9	80	6400
10	86	7396
11	87	7569
12	90	8100
Jumlah	1043	90807

Maka nilai standar deviasi data di atas adalah

STANDAR DEVIASI

Rumus untuk menghitung standar deviasi adalah sebagai berikut

Contoh:

Data umur berbunga (hari) tanaman padi varietas Pandan Wangi adalah sbb: 84 86 89 92 82 86 89 92 80 86 87 90

Berapakah standar deviasi dari data di atas?

Sampel	y	y²
1	84	7056
2	86	7396
3	89	7921
4	92	8464
5	82	6724
6	86	7396
7	89	7921
8	92	8464
9	80	6400
10	86	7396
11	87	7569
12	90	8100
Jumlah	1043	90807

Maka nilai standar deviasi data di atas adalah

Range

Range adalah selisih antara nilai terbesar ( nilai maksimum ) dengan nilai terkecil ( nilai minimum ) pada suatu gugus data. Range bukan merupakan ukuran penyebaran data yang baik karena ukuran ini hanya memperhatikan kedua nilai ekstrem dan tidak mengatakan apa-apa mengenai sebaran bilangan-bilangan yang ada diantara kedua nilai ekstrem tersebut.
Range = Nilai Maksimum – Nilai Minimum

DAFTAR PUSTAKA

Agus Irianto. (2010). Statistika Konsep, Dasar, Aplikasi, dan Pengembangannya. Jakarta: Kencana Prenada Media Group.

Ronald E. Walpole. (1995). Pengantar Statistika Edisi ke-3. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama

Sugiyono. (2010). Statistika untuk Penelitian. Bandung: Alfabeta

Statistika

Rabu, 11 September 2013

Bab 2 Statistika Deskriptif II

Ch. 4 Pengukuran Gejala Pusat

Means/Rata-Rata Hitung Data Berkelompok

Median

Modus

Ch. 5 Kuartil, Nilai Rata Ukur, Nilai Rata Harmonik

KUARTIL

Rata-rata Ukur (Geometric Mean)

Rata-rata Harmonik

Ch. 6 Pengukuran Penyimpanan (Range - Deviasi - Varian)

Varian

Deviasi

STANDAR DEVIASI

STANDAR DEVIASI

Range

DAFTAR PUSTAKA

1 komentar: