Bab 6 Defiasi,Range,Varian

Standar Deviasi

Standar Deviasi dan Varians Salah satu teknik statistik yg digunakan untuk menjelaskan homogenitas kelompok. Varians merupakan jumlah kuadrat semua deviasi nilai-nilai individual thd rata-rata kelompok. Sedangkan akar dari varians disebut dengan standar deviasi atau simpangan baku.
Standar Deviasi dan Varians Simpangan baku merupakan variasi sebaran data. Semakin kecil nilai sebarannya berarti variasi nilai data makin sama Jika sebarannya bernilai 0, maka nilai semua datanya adalah sama. Semakin besar nilai sebarannya berarti data semakin bervariasi.

 

Misalkan data hasil pengamatan dari 10 kali pengambilan data adalah sebagai berikut.
5,3,4,5,6,4,5,3,4,5
dari rumus tersebut diatas lambang x bar merupakan rata-rata hasil pengukuran.
Sehingga dari rata rata pengukuran dapat kita hitung yaitu :
rata-rata = (5+3+4+5+6+4+5+3+4+5)/10 = 4.4
Kemudian data yang didapatkan dari pengurangan hasil pengukuran terhadap rata rata tersebut adalah berturut-turut :
0.6,-1.4,-0.4,0.6,1.6,-0.4,0.6,-1.4,-0.4,0.6
Dan kuadrat dari data tersebut diatas adalah :
0.36,1.96,0.16,0.36,2.56,0.16,0.36,1.96,0.16,0.36
Jika dijumlahkan mendapatkan nilai sebesar = 8.4, hasil ini dibagi dengan 9 dimana angkan 9 ini didapatkan dari “hasil pengamatan – 1″ (10 – 1 = 9)
Sehingga standar deviasi (s) = 0.966092

Range

Range adalah nilai yang diperoleh dari nilai data terbesar dikurangi nilai data terkecil.
Range dari  data tunggal  dirumuskan dengan Range  = X_maks – X_min dengan X_maks= nilai data terbesar sedangkan X_min = nilai data terkecil. Untuk menentukan range dari data tunggal  lebih mudah dan sederhana.
Sebelum sampai pada beberapa pendapat tentang rumus menentukan range dari data yang dikelompokkan perlu kita tahu beberapa istilah terkait dengan menentukan range. Perhatikan  data berikut  yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi kelompok.
Berikut ini adalah nilai ulangan matematika 30 siswa kelas XI yang disajikan dalam tabel

TABEL HASIL NILAI ULANGAN MATEMATIKA 30 SISWA KELAS XI

Nilai Ulangan Matematika	Banyak siswa  (Frekuensi)
41 – 50	3
51 – 60	7
61 – 70	10
71 – 80	5
81 – 90	4
91 – 100	1

Selanjutnya akan ditentukan range dari data tersebut di atas. Untuk menentukan range di atas perlu tambahan kolom dari tabel  yang sudah ada yaitu kolom nilai tengah, kolom tepi kelas serta kolom batas kelas.

Nilai Ulangan Matematika	Banyak siswa  (Frekuensi)	Nilai Tengah	Tepi bawah kelas	Tepi atas kelas	Batas bawah	Batas atas
41 – 50	3	45,5	40,5	50,5	41	50
51 – 60	7	55,5	50,5	60,5	51	60
61 – 70	10	65,5	60,5	70,5	61	70
71 – 80	5	75,5	70,5	80,5	71	80
81 – 90	4	85,5	80,5	90,5	81	90
91 – 100	1	95,5	90,5	100,5	91	100

Rumus yang digunakan untuk menentukan range dari data yang disajikan dalam distribusi frekuensi kelompok.

1. Menurut pendapat yang pertama (Anto dayan, 1986. Pengantar Metode Statistik Jilid I, 169-172  dan Nugroho Soedyarto dan Maryanto.2008. Matematika Jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI Program IPA, 40).  Menentukan range dirumuskan dengan

Range = nilai tengah kelas terakhir – nilai tengah kelas pertama
= 95,5 – 45,5 = 50.

1. Menurut pendapat kedua (Husein Tampomas, 2007. Seribu Pena Matematika. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI, 27). Menentukan range dirumuskan dengan

Range = X_maks –  X_min
= Tepi atas kelas terakhir – Tepi bawah  kelas pertama
= 100,5 – 40,5 = 60

1. Menurut pendapat  ke tiga (Nugroho Budiyuwono, 1990. Pelajaran Statistik untuk SMEA dan sederajat Edisi I, 131 – 136). Menentukan range dirumuskan dengan
   1. Range = batas kelas tertinggi – batas kelas terendah

Pada rumus yang (a) ini, dapat dipilih bahwa
Range = batas atas kelas tertinggi – batas atas kelas terendah
=  100 – 50 = 50
Range = batas bawah kelas tertinggi – batas bawah  kelas terendah
=  91 – 41 = 50

1. Range  = Nilai tengah kelas tertinggi – nilai tengah kelas terendah

= 95,5 – 45,5 = 50.

Dari pendapat  di atas, terlihat bahwa jika menggunakan pendapat yang pertama dan ketiga diperoleh hasil yang sama, tetapi jika digunakan pendapat yang kedua diperoleh hasil yang berbeda.  Dalam menentukan rumus menentukan range dari data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi kelompok maka perlu bapak/ibu guru menyikapi rumus yang akan diberikan kepada siswa,  agar tidak membingungkan siswa. Biasanya masalah timbul ketika pada suatu ujian nasional yang soalnya dalam bentuk pilihan ganda. Jadi terdapat dua atau tiga macam jawaban yang dihasilkan dari rumus-rumus tersebut. Sehingga siswa harus menentukan jawaban mana yang harus dipilih. Selanjutnya, harus diamati pola jawaban pilihan pada ujian nasional untuk kecenderungan jawaban jika soal tentang menentukan range dari data yang disajikan dalam distribusi frekuensi kelompok ini diujikan, apakah menggunakan rumus pendapat pertama/ketiga atau pendapat kedua. Keputusan tetap di tangan Anda. Oleh karena itu saran untuk Anda, boleh saja Anda mengajarkan semua rumus di atas tetapi Anda lebih menekankan kepada siswa untuk memilih rumus tertentu pada saat ujian nasional dengan beberapa alasan yang sudah diberikan di atas.

Varians

Varians adalah salah satu ukuran dispersi atau ukuran variasi.  Varians dapat menggambarkan bagaimana berpencarnya suatu data kuantitatif.  Varians diberi simbol  σ² (baca: sigma kuadrat) untuk populasi dan untuk s² sampel. 

Selanjutnya kita akan menggunakan simbol s²  untuk varians karena umumnya kita hampir selalu berkutat dengan sampel dan jarang sekali berkecimpung dengan populasi.

Rumus untuk menghitung varians ada dua , yaitu rumus teoritis dan rumus  kerja.  Namun demikian, untuk mempersingkat  tulisan ini, maka kita gunakan rumus kerja saja.  Rumus kerja ini mempunyai kelebihan dibandingkan rumus teoritis, yaitu hasilnya lebih akurat dan lebih mudah mengerjakannya.

Rumus kerja untuk varians adalah sebagai berikut

Contoh
Data jumlah anakan  padi varietas Pandan Wangi pada metode SRI adalah sebagai berikut
28  32  15  21  30  30  27  22  36  40

Sampel	y	y2
1	28	784
2	32	1024
3	15	225
4	21	441
5	30	900
6	30	900
7	27	729
8	22	484
9	36	1296
10	40	1600
Jumlah	281	8383

Maka nilai varians data di atas adalah

Simpangan rata-rata

Simpangan rata-rata merupakan penyimpangan nilai-nilai individu dari nilai rata-ratanya. Rata-rata bisa berupa mean atau median. Untuk data mentah simpangan rata-rata dari median cukup kecil sehingga simpangan ini dianggap paling sesuai untuk data mentah. Namun pada umumnya, simpangan rata-rata yang dihitung dari mean yang sering digunakan untuk nilai simpangan rata-rata. Simpangan rata-rata dihitung dengan formula berikut:

Formula tersebut tentu memenuhi dua kriteria sebelumnya, dihitung dari semua data dan menunjukkan dispersi rata-rata dari mean, tetapi tidak memenuhi kriteria ketiga. Bagaimanapun dispersi dari data, semua perhitungan dengan rumus ini akan selalu menghasilkan nilai nol. Hal ini karena pembilang dari rumus di atas menunjukkan bahwa hasil penjumlahannya akan selalu sama dengan nol.

 Simpangan rata-rata data tunggal
                

 Simpangan rata-rata data kelompok
             

Simpangan Baku
Dalam statistika dan probabilitas simpangan baku atau deviasi standar adalah ukuran sebaran statistik yang paling lazim. Singkatnya, ia mengukur bagaimana nilai-nilai data tersebar. Bisa juga didefinisikan sebagai, rata-rata jarak penyimpangan titik-titik data diukur dari nilai rata-rata data tersebut.
Simpangan baku didefinisikan sebagai akar kuadrat varians. Simpangan baku merupakan bilangan tak-negatif, dan memiliki satuan yang sama dengan data. Misalnya jika suatu data diukur dalam satuan meter, maka simpangan baku juga diukur dalam meter pula.

Bab 5 Ukuran Gejala Pusat (UGP)

Pengertian:
Rata-rata (average) ialah suatu nilai yang mewakili suatu kelompok data. Nilai ini disebut juga ukuran gejala pusat karena pada umumnya mempunyain kecenderungan terletak di tengah-tengah dan memusat ke dalam suatun kelompok data yang disusun menurut besar kecilnya nilai data. Beberapa jenis rata-rata yang sering digunakan ialah:

1. Mayor Means terdiri dari:

•  Rata-rata hitung (Arithmetic means)
•  Median
•  Quartile
•  Decile
•  Percentile
•  Modus
•  Mean

2. Minor Means, terdiri dari:

• Rata-rata ukur (Geometric means)
• Rata-rata Harmonis (Harmonic Means)
• Rata-rata Tertimbang
• Rata-rata KuadratisRata-rata dari Rata-rata (rata-rata gabungan)
• Pengukuran nilai rata-rata dapat dilakukan dengan menggunakan data populasi maupun data sampel, dan dari data yang belum dikelompokkan maupun yang sudah dikelompokkan.

   x = data ke n
                                                    x bar = x rata-rata = nilai rata-rata sampel
                                                          n = banyaknya data.

Contoh soal : seorang guru mencatat nilai siswa nya sebagai berikut 6,5,5,7,7.5,8,6.5,5.5,6,9 .Berapakah mean (nilai rata) dari data tersebut


1. Rata-rata Hitung

• Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari data yang mempunyai nilai merata atau yang mempunyai nilai dengan sebaran nilai yang relatif kecil
• Tidak dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari suatu DF terbuka.
• Tidak dapat dipakai untuk menghitung rata-rata dari data kualitatif.
• Tidak dapat digunakan untuk kelompok data yang mempunyai data ekstrim.
• Data yang digunakan adalah data yang mempunyai skala pengukuran interval atau rasio.
• Harganya unik atau hanya mempunyai satu nilai.

2. Rata-rata Tertimbang
Apabila dari sebuah populasi berukuran N, diukur variabel yang mempunyai tingkat
pengukuran interval/rasio dengan hasil pengukuran X1, X2, …XN. Masing-masing
hasil pengukuran mempunyai bobot B1, B2, … BN, maka rata-rata didefinisikan
sebagai rata-rata tertimbang.

3. Median

• Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari data yang mempunyai nilai ekstrim
• Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari suatu DF terbuka atau tertutup.
• Dapat dipakai untuk menghitung rata-rata dari data kualitatif.

Dari lima kali kuiz statistika, seorang mahasiswa memperoleh nilai 82, 93, 86, 92, dan 79. Tentukan median populasi ini.
jawab: Setelah data disusun dari yang terkecil sampai terbesar, diperoleh  79 82 86 92 93
Oleh karena itu medianya adalah 86

Kada nikotin yang berasal dari sebuah contoh acak enam batang rokok cap tertentu adalah 2.3, 2.7, 2.5, 2.9, 3.1, dan 1.9 miligram. Tentukan mediannya.
jawab: Bila kadar nikotin itu diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar, maka diperoleh 1.9 2.3 2.5 2.7 2.9 3.1 Maka mediannya adalah rata-rata dari 2.5 dan 2.7, yaitu
 
4. Modus
Adalah suatu bilangan atau keterangan yang mempunyai frekuensi tertinggi atau
bilangan yang sering muncul.

• Dapat digunakan untuk data yang mempunyai skala pengukuran minimal adalah nominal.
• Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari data yang menunjukkan keadaan yang ‘merajalela’.

 1 .Data yang belum dikelompokkan Modus dari data yang belum dikelompokkan adalah ukuran yang memiliki frekuensi tertinggi. Modus dilambangkan mo. 
2. Data yang telah dikelompokkan  Rumus Modus dari data yang telah dikelompokkan dihitung dengan rumus

Dengan : Mo = Modus
L = Tepi bawah kelas yang memiliki frekuensi tertinggi (kelas modus) i = Interval kelas
b1 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya
b2 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sesudahnya.

Contoh:
Sumbangan dari warga Bogor pada hari Palang Merah Nasional tercatat sebagai berikut: Rp 9.000, Rp 10.000, Rp 5.000, Rp 9.000, Rp 9.000, Rp 7.000, Rp 8.000, Rp 6.000, Rp 10.000, Rp 11.000. Maka modusnya, yaitu nilai yang terjadi dengan frekuensi paling tinggi, adalah Rp 9.000.
Dari dua belas pelajar sekolah lanjutan tingkat atas yang diambil secara acak dicatat berapa kali mereka menonton film selama sebulan lalu. Data yang diperoleh adalah ,0, 3, 1, 2, 4, 2, 5, 4, 0, 1 dan 4. Modusnya  yaitu 4

5.Quartile
Adalah bilangan-bilangan atau keterangan-keterangan yang membagi suatu deretan
bilangan atau deretan keterangan menjadi empat bagian yang sama.

1. Mengurutkan data dari yang terkecil hingga yang terbesar
2. Tentukan median (kuartil tengah / Q_{2 )}
3. Tentukan kuartil bawah / Q₁ (nilai tengah dari data sebelum Q₂ atau 1/4 ukuran data )
4. Tentukan kuartil atas / Q₃ (nilai tengah dari data sesudah Q₂ atau 3/4 ukuran data )

 Kuartil satu (K₁) adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatasi 25% frekuensi di bagian bawah dan 75% frekuensi di bagian atas distribusi. Rumus untuk menghitung K₁ adalah sebagai berikut:

Dimana, x jumlah individu (N),  Kuartil Satu

 Batas Bawah nyata pada interval yang mengandung kuartil

 frekuensi kumulatif di bawah fk yang mengandung kuartil.

fd frekuensi pada interval yang mengandung Kuartil    i  = lebar interval

Tabel 3.12. Berikut adalah contoh untuk mencari kuartil satu.

Interval Nilai	f	fk
28 – 32 23 – 27 18 – 22 13 – 17 8 – 12 3 – 7	5 2 4 3 (6) 3	23 18 16 12 9 (3)
Jumlah	23	-

Diketahui,

   = 5,75 (terletak pada fk = 9 interval 8 – 12)

 7,5       3        6         i = 5

Kuartil Dua (K₂)

            Kuarti dua (K₂) adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatasi 50% frekuensi dibawah distribusi dan 50% di atas distribusi. Oleh karena (K₂) membagi distribusi menjadi dua bagian secara sama, maka sebenarnya (K₂) tidak lain adalah median.

Tabel 3.13. merupakan contoh untuk mencari kuartil dua

Interval Nilai	f	fk
28 – 32 23 – 27 18 – 22 13 – 17 9 – 12 3 – 7	5 2 4 (3) 6 3	23 18 16 12 (9) 3
Jumlah	23	-

Diketahui,

 =11,5 (terletak pada fk = 12 interval 13 – 17

 12,5       9      3     i  = 5

Kuartil Tiga (K₃)

            Kuartil tiga (K₃) adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatasi 75% frekuensi di bagian bawah dan 25% frekuensi di bagian atas. Rumus untuk menghitung (K₃) adalah sebagai berikut:

Tabel 3.14 merupakan contoh untuk mencari kuartil tiga

Interval Nilai	f	S fk
28 – 32 23 – 27 18 – 22 13 – 17 10 – 12 3 – 7	5 (2) 4 3 6 3	23 18 (16) 12 9 3
Jumlah	23	-

Diketahui,

= 17,25 (terletak pada fk = 18 interval 23 – 17)

 22,5        16       2        i = 5

Contoh: Tentukanlah kuartil Q₁, Q₂, dan Q₃ dari data upah bulanan 13 karyawan (dalam ribuan rupiah) berikut: 40,30,50,65,45,55,70,60,80,35,85,95,100.

Jawab:

Urutan data : 30,35,40,45,50,55,60,65,75,80,85,95,100.

Q_i = nilai ke – , di mana n = 13

Maka nilai kuartil Q₁, Q₂, Q₃ adalah sebagai berikut:

Q₁ = nilai ke - = nilai ke – 14/2 = nilai ke-3 ½

     = antara nilai ke -3 dan nilai ke-4

     = nilai ke-3 + ½ (nilai ke-4 – nilai ke-3)

     = 40 + ½ (85 – 40) = 42,5

Q₂ = nilai ke- = nilai ke-7 = 60

Q₃ = nilai ke-  = nilai ke-10 ½

     = nilai ke-10 + ½ (nilai ke-11 – nilai ke-10)

     = 80 + ½ (85 – 80) = 82,5.

Tabel 3.16 Berikut adalah contoh untuk data berkelompok yang disusun dalam tabel distribusi frekuensi.

Modal	Nilai Tengah (X)	Frekuensi (f)
112 – 120 121 – 129 130 – 138 139 – 147 148 – 156 157 – 165 166 – 174	116 125 134 143 152 161 170	4 5 8 12 5 4 2

Tentukan nilai kuartil Q₁, Q₂ dan Q₃ dari data tersebut!

Jawab:

Menentukan terlebih dahulu kelas interval Q₁, Q₂ dan Q₃

Q₁, membagi data menjadi 25 % ke bawah dan 75 % ke atas.

Q_2, membagi data menjadi 50 % ke bawah dan 75 % ke atas.

Q_3, membagi data menjadi 75 % ke bawah dan 25 % ke atas.

Karena n = 40, maka Q₁ terletak pada kelas 130 – 138, Q₂ terletak pada kelas 139 – 147, dan Q₃ terletak pada kelas 148 – 156.

Q_i = L₀ + c

Untuk Q₁, maka L₀ = 129,5, F = 4 + 5 = 9, dan f = 8, sehingga diperoleh:

          Q₁ = 129,5 + 9  = 129,5 + 9 (0,125) = 130,625.

Untuk Q₂, maka L₀ = 138,5, F = 4 + 5 + 8 = 17, dan f = 12, sehingga diperoleh:

          Q₂ = 138,5 + 9  = 140,75.

Terlihat bahwa nilai Q₂ sama dengan median.

Untuk Q₃, maka L₀ = 147,5, F = 29, dan f = 5, sehingga diperoleh:

          Q₃ = 147,5 + 9  = 149,3

6.Decile
Adalah bilangan-bilangan atau keterangan-keterangan yang membagi suatu deretan
bilangan atau deretan keterangan menjadi sepuluh bagian yang sama.Jika suatu distribusi dibagi menjadi 10 kategori maka diperlukan 9 titik batas desil, yaitu D₁, D₂, D₃, D₄, D₅, D₆, D₇, D₈, dan D₉. Dasar perhitungan desil adalah menggunakan angka persepuluhan. D₁ = 1/10 N, D₂ = 2/10 N, D₅ = 5/10 N, D₉ = 9/10 N dan seterusnya. Rumus-rumus untuk menghitung desil:

Tabel 3.17 adalah contoh untuk mencari desil tiga (D₃)

terval Nilai		f		fk
28 – 32 23 – 27 18 – 22 13 – 17 8 – 12 3 – 7		5 2 4 3 (6) 3		23 18 16 12 9 (3)
Jumlah	23		-

Misalkan kita akan menghitung Desil tiga, maka langkah-langkah yang akan kita lakukan adalah sebagai berikut.

Diketahui,        = 6,69 (terletak pada fk = 9 interval 8 – 12)

 7,5            3         6       i  = 5

Maka nilai D₃ dapat dihitung sebagai berikut:

            Arti dari D₃ = 10,75 adalah bahwa nilai 10,75 itu membatasi 30% (3/10N) frekuensi di bawah distribusi dan 70% (7/10N) frekuensi di sebelah atas distribusi. Untuk penghitungan macam-macam desil yang lain menggunakan prosedur yang sama. Apabila nanti diteruskan sampai perhitungan D₅ maka akan dijumpai penggunaan angka dasar 5/10N yang harganya sama dengan ½ N (angka dasar pada median dan K₂), hal ini menunjukkan bahwa sebenarnya D₅ = Mdn = K₂.

7.Percentile
Adalah bilangan-bilangan atau keterangan-keterangan yang membagi suatu deretan
bilangan atau deretan keterangan menjadi seratus bagian yang sama.Bedanya, jika median distribusinya dibagi menjadi 2 kategori, kuartil dibagi menjadi 4 kategori, desil dibagi menjadi 10 kategori, maka persentil distribusinya dibagi menjadi 100 kategori. Sehingga dalam perhitungannya nanti akan dijumpai sebanyak 99 titik persentil. Dari P₁, P₂ sampai dengan P₉₉.

            Angka dasar yang digunakan dalam persentil adalah perseratusan, misalnya untuk P₁ = 1/100.N, P₂₅ = 25/100.N (atau ¼ . N seperti angka dasar K₁, sehingga P₂₅ = K₁). Demikian juga untuk P₅₀ = 50/100.N (= ½.N, yang berarti bahwa P₅₀ = Mdn = K₂ = D₅). Kesamaan-kesamaan pada macam-macam pengukuran ini mudah dipahami karena angka dasar yang digunakan seringkali menghasilkan nilai yang sama meskipun penampakannya berbeda, hal ini akan kita temukan lagi misalnya: D₁ = P₁₀, D₂ = P₂₀, K₃ = P₇₅, dan sebagainya.

            Melalui persentil seorang peneliti dapat dengan leluasa membagi distribusi data yang dimilikinya kedalam jumlah-jumlah kategori yang dikehendakinya. Misalnya jika penelitian ingin membagi distribusi data tentang skor-skor stress kerja (yang masih berupa data interval) menjadi 5 kategori data ordinal (misalnya tinggi sekali, tinggi, sedang, rendah dan rendah sekali) maka peneliti harus menemukan 4 titik persentil dengan jalan melakukan pembagian, 100/5 = 20. Angka 20 ini nanti akan berfungsi sebagai kelipatan yang digunakan untuk menentukan dasar pembuatan kategori. Maka 5 kategori yang digunakan tersebut akan dibatasi oleh titik-titik P₂₀, P₄₀, P₆₀, dan P₈₀. Untuk pembagian ke dalam jumlah-jumlah kategori yang lain dapat dikembangkan oleh para pembaca sendiri. Misalnya kita akan menghitung persentil 60, maka rumusnya adalah:

Tabel 3.18 adalah contoh untuk mencari persentil 60

Interval Nilai	f	fk
28 – 32 23 – 27 18 – 22 13 – 17 8 – 12 3 – 7	5 2 (4) 3 6 3	23 18 16 12 9 3
Jumlah	23	-

Diketahui,  =  13,8 (terletak pada fk = 16 interval 18 – 22)

 17     12        4       i  = 5

Maka data tersebut didapatkan harga P₆₀ sebesar:

            Dari hasil tersebut dapat diketahui bahwa P₆₀ = 19,75, artinya bahwa yang membatasi antara 60% distribusi bagian bahwa dengan 40% distribusi bagian atas adalah nilai 19,75. Dalam penelitian persentil berguna untuk:

• Membagi distribusi menjadi beberapa kelas yang sama besar frekuensinya.
• Memisahkan sebagaian distribusi dari sisanya.
• Menyusun norma penelitian, dan menormalisasikan distribusi.

Bab 4 Skala Pengukuran

•  Skala Likert

 Skala Likert adalah suatu skala psikometrik yang umum digunakan dalam kuesioner, dan merupakan skala yang paling banyak digunakan dalam riset berupa survei. Nama skala ini diambil dari nama Rensis Likert, yang menerbitkan suatu laporan yang menjelaskan penggunaannya . Sewaktu menanggapi pertanyaan dalam skala Likert, responden menentukan tingkat persetujuan mereka terhadap suatu pernyataan dengan memilih salah satu dari pilihan yang tersedia. Biasanya disediakan lima pilihan skala dengan format seperti:

1. Sangat tidak setuju
2. Tidak setuju
3. Netral
4. Setuju
5. Sangat setuju

Selain pilihan dengan lima skala seperti contoh di atas, kadang digunakan juga skala dengan tujuh atau sembilan tingkat. Suatu studi empiris menemukan bahwa beberapa karakteristik statistik hasil kuesioner dengan berbagai jumlah pilihan tersebut ternyata sangat mirip.

Skala Likert merupakan metode skala bipolar yang mengukur baik tanggapan positif ataupun negatif terhadap suatu pernyataan. Empat skala pilihan juga kadang digunakan untuk kuesioner skala Likert yang memaksa orang memilih salah satu kutub karena pilihan "netral" tak tersedia.

• Skala Guttman

Skala Guttman sering pula disebut sebagai teknik kumulatif. Guttman mengembangkan teknik ini guna mengatasi problem yang dihadapi oleh Likert maupun Thurstone. Di samping itu, skala Guttman mempunyai asumsi, seperti yang dinyatakan (Babbie, 1983:184) is based on the fact that some items under consideration may prove to be harder indicators of the variable than others.(Dasar dari fakta di mana beberapa item di bawah pertimbangan yang harus dibuktikan menjadi petunjuk kuat satu variabel dibanding variabel lainnya).Teknik tersebut dilihat dari sifat-sifatnya sebagai skala yang memiliki dimensi tunggal. Tujuan utama pembuatan skala model ini pada prinsipnya adalah untuk menentukan,jika sikap yang diteliti benar-benar mencakup satu dimensi, (Miller, 1977:89).

Sikap dikatakan berdimensi tunggal bila sikap tersebut menghasilkan skala kumulatif. Sebagai contoh, jika seorang responden yang setuju terhadap item 2, maka ia berarti juga setuju terhadap item nomor 1, sedangkan seorang responden yang setuju dengan item 3 juga berarti ia setuju pada item nomor 2 dan 1 dan seterusnya. Dengan kata lain, seseorang yang setuju pada item tertentu dalam tipe skala akan mempunyai skor yang lebih tinggi pada skala total daripada seseorang yang tidak setuju pada item tersebut.
Responden, sebagai contohnya ditanyakan tentang apakah setuju atau tidak terhadap peran organisasi guru dan orang tua.
a. Asosiasi guru-orang tua murid mempunyai peran penting dalam perkembangan sekolah.
b. Asosiasi guru-orang tua murid mempunyai pengaruh kuat terhadap perkembangan sekolah.
c. Asosiasi guru-orang tua murid merupakan organisasi penting untuk meningkatkan kualitas sekolah.

Ketika membuat skala kumulatif, seorang peneliti harus menentukan, pertama, apakah semua item membentuk skala berdimensi tunggal. Untuk mencapai hal tersebut, perlu dapat menganalisis reproduksi jawaban, yaitu proporsi prediksi kemudian dibuat dengan menggunakan jawaban item-item utama. Kemudian bentuk jawaban yang sebenarnya dipelajari, dan pengukuran dibuat dengan mempertim¬bangkan respons yang reproduktif terhadap skor total. Skala Guttman mungkin merupakan teknik skala pengukuran yang paling populer dan banyak digunakan pada penelitian sosial.

•  Skala Semantik Differensial

Skala diferensial yaitu skala untuk mengukur sikap, tetapi bentuknya bukan pilihan ganda maupun checklist, tetapi tersusun dalam satu garis kontinum di mana jawaban yang sangat positif terletak dibagian kanan garis, dan jawaban yang sangat negative terletak dibagian kiri garis, atau sebaliknya.

Data yang diperoleh melalui pengukuran dengan skala semantic differential adalah data interval. Skala bentuk ini biasanya digunakan untuk mengukur sikap atau karakteristik tertentu yang dimiliki seseorang. Berikut contoh penggunaan skala semantic differential mengenai gaya kepemimpinan kepala sekolah.

Gaya Kepemimpinan Kepala Sekolah 

 Responden yang member penilaian angka 7, berarti persepsi terhadap gaya kepemimpinan kepala sekolah adalah sangat positif; sedangkan responden yang memberikan penilaian angka 1 persepsi kepemimpinan kepala sekolah adalah sangat negative.

• Rating Scale

Data-data skala yang diperoleh melalui tiga macam skala yang dikemukakan di atas adalah data kualitatif yang dikuantitatifkan. Berbeda dengan rating scale, data yang diperoleh adalah data kuantitatif (angka) yang kemudian ditafsirkan dalam pengertian kualitatif. Seperti halnya skala lainnya, dalam rating scale responden akan memilih salah satu jawaban kuantitatif yang telah disediakan.

Rating scale lebih fleksibel, tidak saja untuk mengukur sikap tetapi dapat juga digunakan untuk mengukur persepsi responden terhadap fenomena lingkungan, seperti skala untuk mengukur status sosial, ekonomi, pengetahuan, kemampuan, dan lain-lain. Dalam rating scale, yang paling penting adalah kemampuan menterjemahkan alternative jawaban yang dipilih responden. Misalnya responden memilih jawaban angka 3, tetapi angka 3 oleh orang tertentu belum tentu sama dengan angka 3bagi orang lain yang juga memiliki jawaban angka 3.
  

• Skala Thurstone

Skala Thurstone adalah skala yang disusun dengan memilih butir yang berbentuk skala interval. Setiap butir memiliki kunci skor dan jika diurut, kunci skor menghasilkan nilai yang berjarak sama. Skala Thurstone dibuat dalam bentuk sejumlah (40-50) pernyataan yang relevan dengan variable yang hendak diukur kemudian sejumlah ahli (20-40) orang menilai relevansi pernyataan itu dengan konten atau konstruk yang hendak diukur.
Adapun contoh skala penilaian model Thurstone adalah seperti gambar di bawah ini.

Nilai 1 pada skala di atas menyatakan sangat tidak relevan, sedangkan nilai 11 menyatakan sangat relevan.

Bab 2 Statistika Deskriptif II

Ch. 4 Pengukuran Gejala Pusat

Ukuran gejala pusat merupakan suatu usaha yang ditujukan untuk mengukur besarnya nilai rata-rata dari distribusi data yang telah diperoleh dalam suatu penelitian. Untuk mengukur besarnya nilai rata-rata, maka yang perlu dilakukan adalah membedakan secara jelas pengelompokkan data, yaitu antara data tidak berkelompok dengan data berkelompok. Disamping itu pengelompokkan data tersebut, juga perlu mempertimbangkan metode yang digunakan dalam suatu penelitian, apakah berdasarkan data populasi atau data sampel.

Ukuran yang dihitung dari kumpulan data dalam sampel dinamakan statistik. Sedangkan ukuran yang dihitung dari kumpulan data populasi atau dipakai untuk menyatakan populasi dinamakan parameter. Jadi ukuran yang sama dapat bernama statistik atau parameter bergantung pada apakah ukuran dimaksud untuk sampel atau populasi.

Means/Rata-Rata Hitung Data Berkelompok

Untuk mencari rata-rata hitung data berkelompok hampir sama dengan rata-rata hitung data tidak berkelompok. Perbedaannya adalah jika dalam rata-rata hitung data tidak berkelompok merupakan nilai penjumlahan X dibagi dengan N, dimana nilai X adalah nilai absolut, sedangkan untuk rata-rata hitung data berkelompok nilai X adalah nilai tengah masing-masing kelas. Dengan demikian rata-rata hitung data berkelompok merupakan penjumlahan nilai tenganh dengan frekuensi masing-masing kelas dibagi dengan jumlah frekuensi atau dengan rumus: Rata-rata = (Σ Fr.Xi)/(ΣFr). Keterangan : Fr adalah frekuensi ; Xi adalah nilai tengah.

Contoh :

Tabel : Persediaan Beras (dalam kg) dari 50 Pedagang di kota “X’ tanggal 31 Desember

Persediaan Beras	Jumlah Pedagang (Fr)	Nilai Tengah (X i)	( Fr x X i )
90 – 99	2	94,5	189,0
100 – 109	20	104,5	2.090,0
110 – 119	13	114,5	1.488,5
120 – 129	7	124,5	871,5
130 – 139	6	134,5	807,0
140 – 149	2	144,5	189,0
Jumlah	50

5.735,0

Rata-rata hitung data pada tabel di atas adalah : (Σ Fr.Xi)/(ΣFr) = 5.735 / 50 = 114,7 kg. Jadi rata-rata hitung persedian beras dari 50 pedagang di kota “X” per 31 Desember adalah sebesar 114,7 kg.

Dalam mencari rata-rata hitung data berkelompok, disamping dengan menggunakan rumus seperti tersebut di atas, dapat juga dengan menggunakan rumus “Skala d”, yaitu: [(CI Σ di.Fri)/(ΣFr)]+Xi0. Keterangan : CI = class interval ; Xi 0 : class mark pada d = 0

Tabel : Persediaan Beras (dalam kg) dari 50 Pedagang di kota “X’ tanggal 31 Desember

Persediaan Beras	(Fr)	Nilai Tengah (X i)	Skala d	(d i x Fr i)
90 – 99	2	94,5	- 2	- 4
100 – 109	20	104,5	- 1	- 20
110 – 119	13	114,5	0	0
120 – 129	7	124,5	1	7
130 – 139	6	134,5	2	12
140 – 149	2	144,5	3	6
Jumlah	50

1

Rata-rata dengan ”Skala d” diperoleh : [(CI Σ di.Fri)/(ΣFr)]+Xi0 = [(10(1)) / 50)] + 114,5 = 114,7 kg

Median

Pengertian : Median merupakan nilai yang berada di tengah atau rata-rata dari dua nilai yang berada di tengah (jika data jumlah genap), setelah data tersebut diurutkan mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar. Atau, median adalah nilai tengah suatu kelompok data dimana data itu terbagi dua.

Untuk mencari nilai median pada data berkelompok dengan langkah sebagai berikut :

· Menentukan letak mendian dengan rumus n / 2

· Mencari nilai frekuensi komulatif kurang dari masing-masing kelas

· Nilai median dicari dengan rumus :

Md = CB b + CI (j / Fr m)

CB b = Class boundari bawah dari kelas yang mengandung median

CI = Class Interval

j = Selisih antara letak median dengan frekuensi komulatif pada kelas sebelum kelas yang mengandung median

Fr m = Frekuensi pada kelas yang mengandung median

Contoh :

Tabel : Persediaan Beras (dalam kg) dari 50 Pedagang di kota “X’ tanggal 31 Desember

Persediaan Beras	Jumlah Pedagang (Fr)	Fr Komulatif
90 – 99	2	2
100 – 109	20	22
110 – 119	13	35
120 – 129	7	42
130 – 139	6	48
140 – 149	2	50
Jumlah	50

Letak median adalah n / 2 = 50 / 2 = 25, yaitu terkandung pada kelas III (terkandung dalam frekuensi komulatif : 35).

Class boundary bawah kelas III = 109,5 ; Class Interval = 10 ; Nilai j = 25 – 22 = 3 ; Nilai Fr m = 13

Nilai median : Md = CB b + CI (j / Fr m) = 109,5 + 10 (3 / 13) = 111,81 kg.

Jadi persediaan beras dari 50 pedagang di kota “X” nilai tengah atau mediannya sebesar 111,81 kg.

Modus

Pengertian : Modus (mode) dari sejumlah pengamatan adalah nilai X yang paling banyak tampil. Oleh karena itu, dalam sekelompok data mungkin saja tidak memiliki modus. Modus merupakan suatu pengamatan dalam distribusi frekuensi yang memiliki jumlah pengamatan dimana jumlah frekuensinya paling besar atau paling banyak. Untuk mencari nilai modus pada data berkelompok dengan menggunakan langkah sebagai berikut :

Menentukan letak modus, yaitu dilihat pada frekuensi terbesar atau jika frekuensi terbesar lebih dari satu dapat dipilih salah satu. Jika mengamati gambar polygon atau kurva letak modus adalah pada puncak gambar polygon atau kurva. Menentukan nilai modus dengan rumus : Mo = CB b + CI [( D1 ) / ( D1 + D2 )]

Keterangan : D1 : Selisih frekuensi yang terdapat letak modus dengan frekuensi sebelum letak modus. D2 : Selisih frekuensi yang terdapat letak modus dengan frekuensi setelah letak modus.

Contoh : Tabel : Persediaan Beras (dalam kg) dari 50 Pedagang di kota “X’ tanggal 31 Desember

Persediaan Beras	Jumlah Pedagang (Fr)
90 – 99	2
100 – 109	20
110 – 119	13
120 – 129	7
130 – 139	6
140 – 149	2
Jumlah	50

Letak modus berada di kelas II, yaitu frekuensi terbesar bernilai 20. Nilai Modus adalah : Mo = 99,5 + 10 [(20 – 2) / ((20 – 2) + (20 – 13))] = 106,7. Jadi kebanyakan persediaan beras dari 50 pedagang (modusnya) adalah sebanyak 106,7 kg. 

Ch. 5 Kuartil, Nilai Rata Ukur, Nilai Rata Harmonik

KUARTIL

Jika sekumpulan data dibagi menjadi empat bagian yang sama banyak, sesudah disusun menurut urutan nilainya, maka bilangan pembaginya disebut dengan kuartil.  Simbol kuartil adalah K.  Dengan demikian, ada tiga buah kuartil, yaitu K1, K2, dan K3.  Pemberian nama dimulai dari nilai kuartil yang paling kecil.  Untuk menentukan nilai kuartil, caranya adalah sebagai berikut.

1. Susun data menurut urutan nilainya, dari terkecil ke terbesar

2. Tentukan letak kuartil

3. Tentukan nilai kuartil

Letak kuartil ke-i, diberi lambang Ki, ditentukan dengan rumus sbb.

Contoh

Sampel data

27  30  28  29  22  25  24  23  24  25   27  31  21  26

Setelah disusun,

21  22  23  24  24  25  25  26  27  27  28   29  30  31

yaitu antara data ke-3 dengan data ke-4 dan 0,75 unit jauhnya dari data ke-3

Dengan demikian,

nilai K1 = data ke-3 + 0,75(data ke-4  -  data ke-3)

       K1 = 23 + 0,75(24-23) = 23,75

yaitu antara data ke-7 dengan data ke-8 dan 0,5 unit jauhnya dari data ke-7

Dengan demikian,

nilai K2 = data ke-7 + 0,5(data ke-8  -  data ke-7)

       K2 = 25 + 0,5(26-25) = 25,5

yaitu antara data ke-11 dengan data ke-12 dan 0,25 unit jauhnya dari data ke-11

Dengan demikian,

nilai K3 = data ke-11 + 0,25(data ke-12  -  data ke-11)

       K3 = 28 + 0,25(29-28) = 28,25

Rata-rata Ukur (Geometric Mean)

a. Pengertian Nilai Rata-rata Ukur

Nilai rata-rata ukur dari sekelompok bilangan ialah hasil perkalian bilangan tersebut, diakar pangkatkan sebanyaknya bilangan itu sendiri.
Rata rata ukur dipakai untuk menggambarkan keseluruhan data khususnya bila data tersebut mempunyai ciri tertentu yaitu banyaknya nilai data yang satu sama lain saling berkelipatan sehingga perbandingan tiap dua data yang berurutan tetap atau hampir tetap. Bila suatu kelompok data mempunyai ciri seperti ini maka rata rata ukur akan lebih baik dari pada rata rata hitung.

b. Cara menghitung nilai rata-rata ukur

    Untuk Data Tidak Berkelompok

                        n

G =    √ ( X₁, X₂, X₃….X_n )                Untuk Data yang Kecil

                                     ( ∑ log X )

G = antilog ( ------------------- ) Untuk Data yang Besar

                                      ∑ n

·         Untuk Data Berkelompok

                                    ( ∑ f . log X )

G = antilog ( ------------------- )

                                                ∑  f

Contoh: Tentukan rata rata ukur (GEOMETRIC MEAN)  data 2, 4, 8

Jawab :

            n = 3

Log 2 = 0,3010

Log 4 = 0,6021

Log 8 = 0,9031

Maka Log 2 + Log 4 + Log 8 = 0,3010 + 0,6021 + 0,9031 = 1,8062

                                                 ( ∑ log X )

G = antilog ( ------------------- )            

                                                    ∑ n

                                               ( Log 2 + Log 4 + Log 8 )

G = antilog ( ------------------------------------- )             

                                                                3

                                                 ( 1,8062 )

G = antilog ( ------------------ )  =  antilog 0,6021 = 4   

Rata-rata Harmonik

Rata-rata harmonik dari suatu kumpulan data x₁, x₂, …, x_n adalah kebalikan dari nilai rata-rata hitung (aritmetik mean). Secara matematis dapat dinyatakan dengan formula berikut:



Secara umum, rata-rata harmonic jarang digunakan. Rata-rata ini hanya digunakan untuk data yang bersifat khusus. Misalnya,rata-rata harmonik sering digunakan sebagai ukuran tendensi sentral untuk kumpulan data yang menunjukkan adanya laju perubahan, seperti kecepatan.

a. Rata-rata harmonic untuk data tunggal

Contoh 1:Si A bepergian pulang pergi. Waktu pergi ia mengendarai kendaraan dengan kecepatan 10 km/jam, sedangkan waktu kembalinya 20 km/jam. Berapakah rata-rata kecepatan pulang pergi?

Jawab:Apabila kita menghitungnya dengan menggunakan rumus jarak dan kecepatan, tentu hasilnya 13.5 km/jam!
Apabila kita gunakan perhitungan rata-rata hitung, hasilnya tidak tepat!

Pada kasus ini, lebih tepat menggunakan rata-rata harmonik:

b. Rata-rata Harmonik untuk Distribusi Frekuensi:

Contoh 2:
Berapa rata-rata Harmonik dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 pada Tendensi Sentral: Mean!

Jawab:

Kelas ke-	Nilai Ujian	fi	xi	fi/xi
1	31 – 40	2	35.5	0.0563
2	41 – 50	3	45.5	0.0659
3	51 – 60	5	55.5	0.0901
4	61 – 70	13	65.5	0.1985
5	71 – 80	24	75.5	0.3179
6	81 – 90	21	85.5	0.2456
7	91 – 100	12	95.5	0.1257
8	Jumlah	80		1.1000

Ch. 6 Pengukuran Penyimpanan (Range - Deviasi - Varian)

Varian

Varians adalah salah satu ukuran dispersi atau ukuran variasi.  Varians dapat menggambarkan bagaimana berpencarnya suatu data kuantitatif.  Varians diberi simbol  σ² (baca: sigma kuadrat) untuk populasi dan untuk s² sampel. 

Selanjutnya kita akan menggunakan simbol s²  untuk varians karena umumnya kita hampir selalu berkutat dengan sampel dan jarang sekali berkecimpung dengan populasi.

Rumus untuk menghitung varians ada dua , yaitu rumus teoritis dan rumus  kerja.  Namun demikian, untuk mempersingkat  tulisan ini, maka kita gunakan rumus kerja saja.  Rumus kerja ini mempunyai kelebihan dibandingkan rumus teoritis, yaitu hasilnya lebih akurat dan lebih mudah mengerjakannya.

Rumus kerja untuk varians adalah sebagai berikut

Contoh
Data jumlah anakan  padi varietas Pandan Wangi pada metode SRI adalah sebagai berikut
28  32  15  21  30  30  27  22  36  40

Sampel	y	y2
1	28	784
2	32	1024
3	15	225
4	21	441
5	30	900
6	30	900
7	27	729
8	22	484
9	36	1296
10	40	1600
Jumlah	281	8383

Maka nilai varians data di atas adalah

Deviasi

Standar deviasi disebut juga simpangan baku.  Seperti halnya varians, standar deviasi juga merupakan suatu ukuran dispersi atau variasi.  Standar deviasi merupakan ukuran dispersi yang paling banyak dipakai.  Hal ini mungkin karena standar deviasi mempunyai satuan ukuran yang sama dengan satuan ukuran data asalnya.  Misalnya, bila satuan data asalnya adalah cm, maka satuan standar deviasinya juga cm.  Sebaliknya, varians memiliki satuan kuadrat dari data asalnya (misalnya cm²).  Simbol standar deviasi untuk populasi adalah σ (baca: sigma) dan untuk sampel adalah s.

Rumus untuk menghitung standar deviasi adalah sebagai berikut

Contoh:

Data umur berbunga (hari) tanaman padi varietas  Pandan Wangi adalah sbb: 84  86  89  92  82  86  89  92  80  86  87 90

Berapakah standar deviasi dari data di atas?

Sampel	y	y2
1	84	7056
2	86	7396
3	89	7921
4	92	8464
5	82	6724
6	86	7396
7	89	7921
8	92	8464
9	80	6400
10	86	7396
11	87	7569
12	90	8100
Jumlah	1043	90807

Maka nilai standar deviasi data di atas adalah

STANDAR DEVIASI

Standar deviasi disebut juga simpangan baku.  Seperti halnya varians, standar deviasi juga merupakan suatu ukuran dispersi atau variasi.  Standar deviasi merupakan ukuran dispersi yang paling banyak dipakai.  Hal ini mungkin karena standar deviasi mempunyai satuan ukuran yang sama dengan satuan ukuran data asalnya.  Misalnya, bila satuan data asalnya adalah cm, maka satuan standar deviasinya juga cm.  Sebaliknya, varians memiliki satuan kuadrat dari data asalnya (misalnya cm²).  Simbol standar deviasi untuk populasi adalah σ (baca: sigma) dan untuk sampel adalah s.

Rumus untuk menghitung standar deviasi adalah sebagai berikut

Contoh:

Data umur berbunga (hari) tanaman padi varietas  Pandan Wangi adalah sbb: 84  86  89  92  82  86  89  92  80  86  87 90

Berapakah standar deviasi dari data di atas?

Sampel	y	y2
1	84	7056
2	86	7396
3	89	7921
4	92	8464
5	82	6724
6	86	7396
7	89	7921
8	92	8464
9	80	6400
10	86	7396
11	87	7569
12	90	8100
Jumlah	1043	90807

Maka nilai standar deviasi data di atas adalah

STANDAR DEVIASI

Standar deviasi disebut juga simpangan baku.  Seperti halnya varians, standar deviasi juga merupakan suatu ukuran dispersi atau variasi.  Standar deviasi merupakan ukuran dispersi yang paling banyak dipakai.  Hal ini mungkin karena standar deviasi mempunyai satuan ukuran yang sama dengan satuan ukuran data asalnya.  Misalnya, bila satuan data asalnya adalah cm, maka satuan standar deviasinya juga cm.  Sebaliknya, varians memiliki satuan kuadrat dari data asalnya (misalnya cm²).  Simbol standar deviasi untuk populasi adalah σ (baca: sigma) dan untuk sampel adalah s.

Rumus untuk menghitung standar deviasi adalah sebagai berikut

Contoh:

Data umur berbunga (hari) tanaman padi varietas  Pandan Wangi adalah sbb: 84  86  89  92  82  86  89  92  80  86  87 90

Berapakah standar deviasi dari data di atas?

Sampel	y	y2
1	84	7056
2	86	7396
3	89	7921
4	92	8464
5	82	6724
6	86	7396
7	89	7921
8	92	8464
9	80	6400
10	86	7396
11	87	7569
12	90	8100
Jumlah	1043	90807

Maka nilai standar deviasi data di atas adalah

 Range

Range adalah selisih antara nilai terbesar ( nilai maksimum ) dengan nilai terkecil ( nilai minimum ) pada suatu gugus data. Range bukan merupakan ukuran penyebaran data yang baik karena ukuran ini hanya memperhatikan kedua nilai ekstrem dan tidak mengatakan apa-apa mengenai sebaran bilangan-bilangan yang ada diantara kedua nilai ekstrem tersebut.
Range = Nilai Maksimum – Nilai Minimum

DAFTAR PUSTAKA

Agus Irianto. (2010). Statistika Konsep, Dasar, Aplikasi, dan Pengembangannya. Jakarta: Kencana Prenada Media Group.

Ronald E. Walpole. (1995). Pengantar Statistika Edisi ke-3. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama

Sugiyono. (2010). Statistika untuk Penelitian. Bandung: Alfabeta