Bab 6 Defiasi,Range,Varian

Standar Deviasi

Standar Deviasi dan Varians Salah satu teknik statistik yg digunakan untuk menjelaskan homogenitas kelompok. Varians merupakan jumlah kuadrat semua deviasi nilai-nilai individual thd rata-rata kelompok. Sedangkan akar dari varians disebut dengan standar deviasi atau simpangan baku.
Standar Deviasi dan Varians Simpangan baku merupakan variasi sebaran data. Semakin kecil nilai sebarannya berarti variasi nilai data makin sama Jika sebarannya bernilai 0, maka nilai semua datanya adalah sama. Semakin besar nilai sebarannya berarti data semakin bervariasi.

 

Misalkan data hasil pengamatan dari 10 kali pengambilan data adalah sebagai berikut.
5,3,4,5,6,4,5,3,4,5
dari rumus tersebut diatas lambang x bar merupakan rata-rata hasil pengukuran.
Sehingga dari rata rata pengukuran dapat kita hitung yaitu :
rata-rata = (5+3+4+5+6+4+5+3+4+5)/10 = 4.4
Kemudian data yang didapatkan dari pengurangan hasil pengukuran terhadap rata rata tersebut adalah berturut-turut :
0.6,-1.4,-0.4,0.6,1.6,-0.4,0.6,-1.4,-0.4,0.6
Dan kuadrat dari data tersebut diatas adalah :
0.36,1.96,0.16,0.36,2.56,0.16,0.36,1.96,0.16,0.36
Jika dijumlahkan mendapatkan nilai sebesar = 8.4, hasil ini dibagi dengan 9 dimana angkan 9 ini didapatkan dari “hasil pengamatan – 1″ (10 – 1 = 9)
Sehingga standar deviasi (s) = 0.966092

Range

Range adalah nilai yang diperoleh dari nilai data terbesar dikurangi nilai data terkecil.
Range dari  data tunggal  dirumuskan dengan Range  = X_maks – X_min dengan X_maks= nilai data terbesar sedangkan X_min = nilai data terkecil. Untuk menentukan range dari data tunggal  lebih mudah dan sederhana.
Sebelum sampai pada beberapa pendapat tentang rumus menentukan range dari data yang dikelompokkan perlu kita tahu beberapa istilah terkait dengan menentukan range. Perhatikan  data berikut  yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi kelompok.
Berikut ini adalah nilai ulangan matematika 30 siswa kelas XI yang disajikan dalam tabel

TABEL HASIL NILAI ULANGAN MATEMATIKA 30 SISWA KELAS XI

Nilai Ulangan Matematika	Banyak siswa  (Frekuensi)
41 – 50	3
51 – 60	7
61 – 70	10
71 – 80	5
81 – 90	4
91 – 100	1

Selanjutnya akan ditentukan range dari data tersebut di atas. Untuk menentukan range di atas perlu tambahan kolom dari tabel  yang sudah ada yaitu kolom nilai tengah, kolom tepi kelas serta kolom batas kelas.

Nilai Ulangan Matematika	Banyak siswa  (Frekuensi)	Nilai Tengah	Tepi bawah kelas	Tepi atas kelas	Batas bawah	Batas atas
41 – 50	3	45,5	40,5	50,5	41	50
51 – 60	7	55,5	50,5	60,5	51	60
61 – 70	10	65,5	60,5	70,5	61	70
71 – 80	5	75,5	70,5	80,5	71	80
81 – 90	4	85,5	80,5	90,5	81	90
91 – 100	1	95,5	90,5	100,5	91	100

Rumus yang digunakan untuk menentukan range dari data yang disajikan dalam distribusi frekuensi kelompok.

1. Menurut pendapat yang pertama (Anto dayan, 1986. Pengantar Metode Statistik Jilid I, 169-172  dan Nugroho Soedyarto dan Maryanto.2008. Matematika Jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI Program IPA, 40).  Menentukan range dirumuskan dengan

Range = nilai tengah kelas terakhir – nilai tengah kelas pertama
= 95,5 – 45,5 = 50.

1. Menurut pendapat kedua (Husein Tampomas, 2007. Seribu Pena Matematika. Matematika untuk SMA/MA Kelas XI, 27). Menentukan range dirumuskan dengan

Range = X_maks –  X_min
= Tepi atas kelas terakhir – Tepi bawah  kelas pertama
= 100,5 – 40,5 = 60

1. Menurut pendapat  ke tiga (Nugroho Budiyuwono, 1990. Pelajaran Statistik untuk SMEA dan sederajat Edisi I, 131 – 136). Menentukan range dirumuskan dengan
   1. Range = batas kelas tertinggi – batas kelas terendah

Pada rumus yang (a) ini, dapat dipilih bahwa
Range = batas atas kelas tertinggi – batas atas kelas terendah
=  100 – 50 = 50
Range = batas bawah kelas tertinggi – batas bawah  kelas terendah
=  91 – 41 = 50

1. Range  = Nilai tengah kelas tertinggi – nilai tengah kelas terendah

= 95,5 – 45,5 = 50.

Dari pendapat  di atas, terlihat bahwa jika menggunakan pendapat yang pertama dan ketiga diperoleh hasil yang sama, tetapi jika digunakan pendapat yang kedua diperoleh hasil yang berbeda.  Dalam menentukan rumus menentukan range dari data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi kelompok maka perlu bapak/ibu guru menyikapi rumus yang akan diberikan kepada siswa,  agar tidak membingungkan siswa. Biasanya masalah timbul ketika pada suatu ujian nasional yang soalnya dalam bentuk pilihan ganda. Jadi terdapat dua atau tiga macam jawaban yang dihasilkan dari rumus-rumus tersebut. Sehingga siswa harus menentukan jawaban mana yang harus dipilih. Selanjutnya, harus diamati pola jawaban pilihan pada ujian nasional untuk kecenderungan jawaban jika soal tentang menentukan range dari data yang disajikan dalam distribusi frekuensi kelompok ini diujikan, apakah menggunakan rumus pendapat pertama/ketiga atau pendapat kedua. Keputusan tetap di tangan Anda. Oleh karena itu saran untuk Anda, boleh saja Anda mengajarkan semua rumus di atas tetapi Anda lebih menekankan kepada siswa untuk memilih rumus tertentu pada saat ujian nasional dengan beberapa alasan yang sudah diberikan di atas.

Varians

Varians adalah salah satu ukuran dispersi atau ukuran variasi.  Varians dapat menggambarkan bagaimana berpencarnya suatu data kuantitatif.  Varians diberi simbol  σ² (baca: sigma kuadrat) untuk populasi dan untuk s² sampel. 

Selanjutnya kita akan menggunakan simbol s²  untuk varians karena umumnya kita hampir selalu berkutat dengan sampel dan jarang sekali berkecimpung dengan populasi.

Rumus untuk menghitung varians ada dua , yaitu rumus teoritis dan rumus  kerja.  Namun demikian, untuk mempersingkat  tulisan ini, maka kita gunakan rumus kerja saja.  Rumus kerja ini mempunyai kelebihan dibandingkan rumus teoritis, yaitu hasilnya lebih akurat dan lebih mudah mengerjakannya.

Rumus kerja untuk varians adalah sebagai berikut

Contoh
Data jumlah anakan  padi varietas Pandan Wangi pada metode SRI adalah sebagai berikut
28  32  15  21  30  30  27  22  36  40

Sampel	y	y2
1	28	784
2	32	1024
3	15	225
4	21	441
5	30	900
6	30	900
7	27	729
8	22	484
9	36	1296
10	40	1600
Jumlah	281	8383

Maka nilai varians data di atas adalah

Simpangan rata-rata

Simpangan rata-rata merupakan penyimpangan nilai-nilai individu dari nilai rata-ratanya. Rata-rata bisa berupa mean atau median. Untuk data mentah simpangan rata-rata dari median cukup kecil sehingga simpangan ini dianggap paling sesuai untuk data mentah. Namun pada umumnya, simpangan rata-rata yang dihitung dari mean yang sering digunakan untuk nilai simpangan rata-rata. Simpangan rata-rata dihitung dengan formula berikut:

Formula tersebut tentu memenuhi dua kriteria sebelumnya, dihitung dari semua data dan menunjukkan dispersi rata-rata dari mean, tetapi tidak memenuhi kriteria ketiga. Bagaimanapun dispersi dari data, semua perhitungan dengan rumus ini akan selalu menghasilkan nilai nol. Hal ini karena pembilang dari rumus di atas menunjukkan bahwa hasil penjumlahannya akan selalu sama dengan nol.

 Simpangan rata-rata data tunggal
                

 Simpangan rata-rata data kelompok
             

Simpangan Baku
Dalam statistika dan probabilitas simpangan baku atau deviasi standar adalah ukuran sebaran statistik yang paling lazim. Singkatnya, ia mengukur bagaimana nilai-nilai data tersebar. Bisa juga didefinisikan sebagai, rata-rata jarak penyimpangan titik-titik data diukur dari nilai rata-rata data tersebut.
Simpangan baku didefinisikan sebagai akar kuadrat varians. Simpangan baku merupakan bilangan tak-negatif, dan memiliki satuan yang sama dengan data. Misalnya jika suatu data diukur dalam satuan meter, maka simpangan baku juga diukur dalam meter pula.